Question

已知橢圓C₁：

x2

3

+

y2

2

=1的左焦點為F₁，右焦點為F₂．
（Ⅰ）設直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求點M的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，取曲線C₂上不同于O的點S，以OS為直徑作圓與C₂相交另外一點R，求該圓的面積最小時點S的坐標．

Answer 1

分析：（I）利用橢圓的方程即可得出c及直線l₁的方程，再利用拋物線的定義即可得出點M的軌跡C₂的方程；
（II）由于以OS為直徑的圓與C₂相交于點R，可得∠ORS=90°，設S（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，利用

OR

•

SR

=x₂（x₂-x₁）+y₂（y₂-y₁）=0，和基本不等式可得|y₁|_min及|x₁|_min，進而得到圓的直徑的最小值|OS|_min即可．

解答：解：（I）由橢圓方程

x2

3

+

y2

2

=1，可得a²=3，b²=2，∴c=

a2-b2

=1．
∴直線l₁：x=-1，焦點F₂（1，0）．
∵點M在線段PF₂的垂直平分線上，∴|MP|=|MF₂|，
故動點M到定直線l₁：x=-1的距離等于它到定點F₂（1，0）的距離，
因此動點M的軌跡C₂是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，
所以點M的軌跡C₂的方程為y²=4x
（II）∵以OS為直徑的圓與C₂相交于點R，
∴∠ORS=90°，即

OR

•

SR

=0．
設S（x₁，y₁），R（x₂，y₂），則

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，

SR

=(x2-x1，y2-y1)，

OR

=(x2，y2)．
∴

OR

•

SR

=x₂（x₂-x₁）+y₂（y₂-y₁）=0，即

y 2 2 ( y 2 2 - y 2 1 )

16

+y₂（y₂-y₁）=0．
∵y₁≠y₂，y₂≠0，∴y1=-(y2+

16

y2

)
故|y1|=|y2|+

16

|y2|

≥8，當且僅當y₂=±4時等號成立
當|y₁|_min=8時，(x1)min=

82

4

=16，圓的直徑|OS|min=

162+82

=8

5

，
這時點S的坐標為（16，±8）．

點評：熟練掌握橢圓、拋物線及圓的定義及其性質、∠ORS=90°?

OR

•

SR

=0、基本不等式的性質、勾股定理等是解題的關鍵．