Question

某企業(yè)準備投產(chǎn)一批特殊型號的產(chǎn)品，已知該種產(chǎn)品的成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=

q3

3

-3q2+20q+10(q＞0)．該種產(chǎn)品的市場前景無法確定，有三種可能出現(xiàn)的情況，各種情形發(fā)生的概率及產(chǎn)品價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式如下表所示：

市場情形	概率	價格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式
好	0.4	p=164-3q
中	0.4	p=101-3q
差	0.2	p=70-3q

設(shè)L₁，L₂，L₃分別表示市場情形好、中差時的利潤，隨機變量ξ_k，表示當產(chǎn)量為q，而市場前景無法確定的利潤．
（I）分別求利潤L₁，L₂，L₃與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式；
（II）當產(chǎn)量q確定時，求期望Eξ_k，試問產(chǎn)量q取何值時，Eξ_k取得最大值．

Answer 1

（I）根據(jù)所給的表格中的數(shù)據(jù)和題意寫出
L1=(164-3q)•q-(

q3

3

-3q2+20q+10)
=-

q3

3

+144q-10(q＞0)．
同理可得L2=-

q3

3

+81q-10(q＞0)．
L3=-

q3

3

+50q-10(q＞0)．
（II）由期望定義可知Eξ_q=0.4L₁+0.4L₂+0.2L₃
=0.4*(-

q3

3

+144q-10)+0.4*(-

q3

3

+81q-10)+0.28*(-

q3

3

+50q-10)
=-

q3

3

+100q-10．
可知Eξ_q是產(chǎn)量q的函數(shù)，設(shè)f(q)=Eξq=-

q3

3

+100q-10(q＞0)，
得f'（q）=-q²+100．令f'（q）=0解得q=10，q=-10（舍去）．
由題意及問題的實際意義可知，當q=10時，f（q）取得最大值，即Eξ_q最大時的產(chǎn)量為10．