Question

已知函數f（x）=

2

x-1

（1）求證：函數在（1，+∞）上是減函數；
（2）求函數在x∈[3，5]的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）定義法：任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，作差得出f（x₁）-f（x₂），變形可判f（x₁）-f（x₂）的符號，可得函數的單調性．
（2）由第（1）問，函數在[3，5]上遞減，代入端點值即可解得．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數上是減函數．
（2）由第（1）問，函數在[3，5]上遞減，
當x=3時，函數有最大值1，當x=5時，函數有最小值

1

2

．

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，涉及函數單調性證明的定義法和式子變形的能力，屬基礎題．