Question

9．已知函數(shù)$f（x）=ln（{x+1}）-\frac{ax}{1-x}（{a∈R}）$．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若-1＜x＜1時(shí)，均有f（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）∪（1，+∞），
求出f′（x）=$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{（1-x）^{2}}=\frac{x（x-3）}{（x-1）^{2}（x+1）}$，即可求單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1-a}{（x-1）^{2}（x+1）}，-1＜x＜1$，
分（1）a≤0，（2）當(dāng)a＞0，討論單調(diào)性及最值即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的定義域?yàn)椋?1，1）∪（1，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{（1-x）^{2}}=\frac{x（x-3）}{（x-1）^{2}（x+1）}$，
當(dāng)-1＜x＜0或＞3時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1或1＜x＜3，f′（x）＜0，
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-1，0），（3，+∞），減區(qū)間為（0，1），（1，3）
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1-a}{（x-1）^{2}（x+1）}，-1＜x＜1$，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故0＜x＜1時(shí)，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x₁=$\frac{a+2-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{2}$，x₂=$\frac{a+2+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{2}$．
若0＜a＜1，此時(shí)0＜x₁＜1，對(duì)0＜x＜x₁，有f′（x）＞0，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．
若a＞1，此時(shí)-1＜x₁＜0，對(duì)x₁＜x＜0，有f′（x）＜0，f（x）＞f（0）=0，不符合題意．
若a=1，由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在x=0處取得最大值0，符合題意，
綜上實(shí)數(shù)a的取值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題，