Question

19．利用導(dǎo)數(shù)的定義，求f（x）=$\sqrt{{x^2}+1}$在x=1處的導(dǎo)數(shù)．

Answer 1

分析 直接利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x^2}+1}$在x=1處的導(dǎo)數(shù)值．

解答 解：△y=f（1+△x）-f（1）=$\sqrt{（1+△x）^{2}+1}$-$\sqrt{2}$=$\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}$-$\sqrt{2}$，
∴$\frac{△y}{△x}$=$\frac{\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}-\sqrt{2}}{△x}$，
∴f′（1）=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}-\sqrt{2}}{△x}$=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△{x}^{2}+2△x}{△x（\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}+\sqrt{2}）}$
=$\underset{lim}{△x→0}$$\frac{△x+2}{\sqrt{△{x}^{2}+2△x+2}+\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查的知識點是導(dǎo)數(shù)的運算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．