Question

11．定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），且f（1-a）+f（1-2a）＜0．若f（x）是（-1，1）上的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）的奇偶性得出f（1-a）＜-f（1-2a）=f（2a-1），再利用單調(diào)性得出1-2a＞2a-1，結(jié)合定義域求出a的范圍．

解答 解：∵f（1-a）+f（1-2a）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-2a）．
∵f（-x）=-f（x），x∈（-1，1），
∴-f（1-2a）=f（2a-1），
∴f（1-a）＜f（2a-1）．
又∵f（x）是（-1，1）上的減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜1-a＜1}\\{-1＜1-2a＜1}\\{1-a＞2a-1}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{2}{3}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（0，$\frac{2}{3}$）．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．