Question

20．如果一個正四面體的體積為9dm³，則其表面積S的值為18$\sqrt{3}$dm³．

Answer 1

分析 求出正四面體的高和斜高，根據(jù)體積公式列方程解出棱長，再計算表面積．

解答 解：過頂點S作底面ABC的垂線SO，則O為底面ABC的中心，
連接AO并延長交BC于D，連接SD，則D為BC的中點，
設正四面體的棱長為adm，則AD=SD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，OD=$\frac{1}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$a，
∴SO=$\sqrt{S{D}^{2}-O{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
∴V=$\frac{1}{3}$S_△ABC•SO=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=9，∴a=3$\sqrt{2}$．
∴正四面體的表面積S=4S_△ABC=4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=18$\sqrt{3}$．
故答案為18$\sqrt{3}$dm³．

點評 本題考查了棱錐的結構特征，體積和表面積計算，屬于中檔題．