Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)=，.
（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，對任意給定的，在區(qū)間上都存在兩個不同的，使得成立.若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.
（3）給出如下定義：對于函數(shù)圖象上任意不同的兩點(diǎn)，如果對于函數(shù)圖象上的點(diǎn)（其中總能使得成立，則稱函數(shù)具備性質(zhì)“”，試判斷函數(shù)是不是具備性質(zhì)“”，并說明理由.

Answer 1

（1）值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234901174391.png" style="vertical-align:middle;" /> .（2）滿足條件的不存在. （3）函數(shù)不具備性質(zhì)“”.

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234901455920.png" style="vertical-align:middle;" />，然后分析導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，然后判定單調(diào)性得到值域。
（2）令，則由（1）可得，原問題等價于：對任意的在上總有兩個不同的實(shí)根，故在不可能是單調(diào)函數(shù)，對于參數(shù)a討論得到結(jié)論。
（3）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到結(jié)論。
（1）,當(dāng)時，，時， 
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減,且，
 的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823234901174391.png" style="vertical-align:middle;" /> .          ………………………….3分
（2）令，則由（1）可得，原問題等價于：對任意的在上總有兩個不同的實(shí)根，故在不可能是單調(diào)函數(shù)  ……5分
   
當(dāng)時, ， 在區(qū)間上遞減，不合題意 ;
當(dāng)時, ,在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意;
當(dāng)時, ,在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合題意;
當(dāng)即時, 在區(qū)間上單調(diào)遞減; 在區(qū)間上單遞增，由上可得，此時必有的最小值小于等于0且的最大值大于等于1， 而由可得，則.
綜上，滿足條件的不存在.……………………………………………8分
（3）設(shè)函數(shù)具備性質(zhì)“”，即在點(diǎn)處地切線斜率等于，不妨設(shè)，則，而在點(diǎn)處的切線斜率為，故有……..10分
即，令，則上式化為，
令，則由可得在上單調(diào)遞增，故，即方程無解，所以函數(shù)不具備性質(zhì)“”.……..14分