Question

【題目】如圖，點(diǎn)是拋物線上位于第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是焦點(diǎn)，圓：，過(guò)點(diǎn)作圓的切線交準(zhǔn)線于，兩點(diǎn).

（Ⅰ）記直線，的斜率分別為，，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）10.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，，，求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，圓的圓心和半徑，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)計(jì)算可得所求值；

（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，可得直線、的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和直線和圓相切的條件：，結(jié)合韋達(dá)定理，可得、的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到，求得面積為關(guān)于的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理，可得所求最小值．

解：（Ⅰ）設(shè)，，

，

解得或（舍）.此時(shí)

（Ⅱ）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為.

則直線的方程為：，

由直線與圓相切，，

同理.

則，為方程的兩根.

，

由，同理

，

，則

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，的面積取到最小值10.