Question

下圖為一臺(tái)冷軋機(jī)的示意圖。冷軋機(jī)由若干對(duì)軋輥組成，帶鋼從一端輸入，經(jīng)過(guò)各對(duì)軋輥逐步減薄后輸出。

（Ⅰ）輸入帶鋼的厚度為a，輸出帶鋼的厚度為β，若每對(duì)軋輥的減薄率不超過(guò)r0，問(wèn)冷軋機(jī)至少需要安裝多少對(duì)軋輥？

（Ⅱ）已知一臺(tái)冷軋機(jī)共有4對(duì)減薄率為20%的軋輥，所有軋輥周長(zhǎng)均為1600mm，若第k對(duì)軋輥有缺陷,每滾動(dòng)一周在帶鋼上壓出一個(gè)疵點(diǎn)，在冷軋機(jī)輸出的帶鋼上，疵點(diǎn)的間距為L(zhǎng)k，為了便于檢修，請(qǐng)計(jì)算L1、L2、L3并填入下表（軋鋼過(guò)程中，帶鋼寬度不變，且不考慮損耗）。

車輥 序號(hào)	1	2	3	4
疵點(diǎn)間距LK （單位：mm）				1600

Answer 1

（I）解：厚度為a的帶鋼經(jīng)過(guò)減薄率均為r_o的n對(duì)軋輥后厚度為a(1-ro)n.

為使出帶鋼的厚度不超過(guò)β，冷軋機(jī)的軋輥數(shù)（以對(duì)為單位）應(yīng)滿足a(1-ro)n≤β，

即 (1-r_o)n≤β/a

由于(1-r_o)n>O, β/a>0,對(duì)上式兩端取對(duì)數(shù)，得nlg(l-r_o)≤lg(β/a).

由于lg(1-r_o)<0,所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)].

因此，至少需要安裝不小于(lgβ-lga)/[lg(1-r_o)]的整數(shù)對(duì)軋輥

（II）解法一：第k對(duì)軋輥出口處疵點(diǎn)間距離為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為1600a×(1-r)k×寬度 （其中r＝20％），而在冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼的體積為Lk×a(1-r)⁴×寬度。

因?qū)挾认嗟�，且無(wú)損耗，由體積相等得1600?a(1-r)k=Lk?a(1-k)⁴(r=20%),

即 Lk=1600?0.8K^-4. 由此得 l₃=2000(mm), l₂=2500(mm), l₁=3125mm)

解法二：第3對(duì)軋輥出口疵點(diǎn)間距為軋輥周長(zhǎng)，在此處出口的兩疵點(diǎn)間帶鋼體積與冷軋機(jī)出口處兩疵點(diǎn)間帶鋼體積相等，因?qū)挾炔蛔�，有�?600=L³?(1-0.2),

所以 L₃=1600/0.8=2000(mm).

同理 L₂=L₃/0.8=2500(mm).L₁=L₂/0.8=3125(mm).