Question

2．已知a＞0，函數f（x）=-asin2x-$\sqrt{3}acos2x+b（x∈[0，\frac{π}{2}]）$的值域為[-5，1]，則a，b的值為6$（2-\sqrt{3}）$，12$\sqrt{3}$-23．．

Answer 1

分析 函數f（x）=-asin2x-$\sqrt{3}$acos2x+b=2a$sin（2x-\frac{π}{3}）$+b，（a＞0）．利用x∈$[0，\frac{π}{2}]$，及其三角函數的單調性即可得出．

解答 解：函數f（x）=-asin2x-$\sqrt{3}$acos2x+b
=2a$sin（2x-\frac{π}{3}）$+b，（a＞0）．
∵x∈$[0，\frac{π}{2}]$，
∴$-\frac{π}{3}$≤$2x-\frac{π}{3}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{\sqrt{3}}{2}$≤$sin（2x-\frac{π}{3}）$≤1，
∵a＞0，
∴當$sin（2x-\frac{π}{3}）$=1，函數f（x）取得最大值1，∴2a+b=1；
當$sin（2x-\frac{π}{3}）$=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$，函數f（x）取得最小值1，∴-$\sqrt{3}$a+b=-5．
聯立$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=1}\\{-\sqrt{3}a+b=-5}\end{array}\right.$，
解得a=6$（2-\sqrt{3}）$，b=12$\sqrt{3}$-23．
故答案分別為：6$（2-\sqrt{3}）$，b=12$\sqrt{3}$-23．

點評 本題考查了三角函數的單調性、函數的值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．