Question

10．已知{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-3b₂=7．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，n∈N^*，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出數(shù)列{a_n}的公比和數(shù)列{b_n}的公差，由題意列出關(guān)于q，d的方程組，求解方程組得到q，d的值，則等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（Ⅱ）由題意得到${c}_{n}=（2n-1）•{2}^{n-1}$，然后利用錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，數(shù)列{b_n}的公差為d，由題意，q＞0，
由已知有$\left\{\begin{array}{l}{2{q}^{2}-3d=2}\\{{q}^{4}-3d=10}\end{array}\right.$，消去d整理得：q⁴-2q²-8=0．
∵q＞0，解得q=2，∴d=2，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a}_{n}={2}^{n-1}$，n∈N^*；
數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有${c}_{n}=（2n-1）•{2}^{n-1}$，
設(shè){c_n}的前n項(xiàng)和為S_n，則
${S}_{n}=1×{2}^{0}+3×{2}^{1}+5×{2}^{2}+…+（2n-3）×{2}^{n-2}+（2n-1）×{2}^{n-1}$，
$2{S}_{n}=1×{2}^{1}+3×{2}^{2}+5×{2}^{3}+…+（2n-3）×{2}^{n-1}+（2n-1）×{2}^{n}$，
兩式作差得：$-{S}_{n}=1+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-（2n-1）×{2}^{n}$=2ⁿ⁺¹-3-（2n-1）×2ⁿ=-（2n-3）×2ⁿ-3．
∴${S}_{n}=（2n-3）•{2}^{n}+3，n∈{N}^{*}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和，考查數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力，是中檔題．