Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（ax+b），曲線y=f（x）的經過點P（0，2），且在點P處的切線為l：y=4x+2．
（Ⅰ）求常數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）證明：f（x）≥4x+2；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)k，使得當x∈[-2，-1]時，f（x）≥k（4x+2）恒成立？若存在，求常數(shù)k的取值范圍；若不存在，簡要說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由已知條件得

f(0)=b=2 f′(0)=b+a=4

，由此能求出常數(shù)a，b的值．
（Ⅱ）記g（x）=f（x）-（4x+2）=2e^x（x+1）-2（2x+1），則g′（x）=2e^x（x+2）-4，當x=0時，g′（x）=0，設t（x）=2e^x（x+2）-4，由此利用導數(shù)性質能證明f（x）≥4x+2．
（Ⅲ）x∈[-2，-1]時，f（x）≥k（4x+2）恒成立，當且僅當k≥

f(x)

4x+2

=

ex(x+1)

2x+1

，記h（x）=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，由此利用導數(shù)性質能求出常數(shù)k的取值范圍．

解答： （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x（ax+b），
∴f′（x）=e^x（ax+b）+ae^x，
∵曲線y=f（x）的經過點P（0，2），且在點P處的切線為l：y=4x+2，
∴

f(0)=b=2 f′(0)=b+a=4

，
解得a=b=2．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f（x）=e^x（2x+2），
記g（x）=f（x）-（4x+2）=2e^x（x+1）-2（2x+1），
則g′（x）=2e^x（x+2）-4，
當x=0時，g′（x）=0，設t（x）=2e^x（x+2）-4，
則t′（x）=2e^x（x+3），
當x＞-3時，t′（x）＞0，g′（x）單調遞增，
當x＜-3時，t′（x）＜0，g′（x）單調遞減，
顯然當x＜-2時，g′（x）＜0，∴當x＞0時，g′（x）＞0，
當x＜0時，g′（x）＜0，∴g（x）≥g（0）=0，
當且僅當x=0時等號成立，
∴f（x）≥4x+2．
（Ⅲ）解：x∈[-2，-1]時，4x+2＜0，
∴f（x）≥k（4x+2）恒成立，
當且僅當k≥

f(x)

4x+2

=

ex(x+1)

2x+1

，
記h（x）=

ex(x+1)

2x+1

，x∈[-2，-1]，
h′(x)=

ex(2x2+3x)

(2x+1)2

，
由h′（x）=0，得x=0（舍），x=-

3

2

，
當-2≤x＜-

3

2

時，h′（x）＞0，
∴h（x）=

ex(x+1)

2x+1

在區(qū)間[-2，-1]上的最大值為h（-

3

2

）=

1

4

e-

3

2

，
∴常數(shù)k的取值范圍是[

1

4

e-

2

3

，+∞）．

點評：本題考查常數(shù)的值的求法，考查不等式的證明，考查常數(shù)的取值范圍的求法，解題時要注意構造法和導數(shù)性質的合理運用．