Question

11．求函數(shù)f（x）=x²-2ax+2在[-1，1]上的最小值g（a）．

Answer 1

分析 對于函數(shù)f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，分對稱在區(qū)間[-1，1]的左側、中間、右側三種情況，分別求得f（x）在[-1，1]上的最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²，其對稱軸方程為x=a，
當a＜-1時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增，其最小值為g（a）=f（-1）=2a+3；
當-1≤a≤1時，f（x）在[-1，1]上的最小值為g（a）=f（a）=2-a²；
當a＞1時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，其最小值為g（a）=f（1）=3-2a．
函數(shù)f（x）=x²-2ax+2在[-1，1]上的最小值g（a）=$\left\{\begin{array}{l}2a+3，a＜-1\\ 2-{a}^{2}，-1≤a≤1\\ 3-2a，a＞1\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬中檔題．