Question

已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若直線是曲線的切線，求實(shí)數(shù)的值；

（3）設(shè)在區(qū)間上的最小值.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

 

Answer 1

（1）的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為.

【解析】

試題分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0即可求出增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0即可求出減區(qū)間；

（2）首先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后直接利用切線的斜率即為切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值以及切點(diǎn)是直線與曲線的共同點(diǎn)可得方程組，解之即可求實(shí)數(shù)的值；

（3）先求出的導(dǎo)函數(shù)，分三種情況討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即當(dāng)，即時(shí)， 在區(qū)間上為增函數(shù)，所以最小值為；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，所以最小值為；當(dāng)，即時(shí)，最小值=.進(jìn)而求得其在區(qū)間上的最小值.

試題解析：（1），（），在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是和，單調(diào)遞增區(qū)間是.

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則 ,解得，.

（3），則，令，解得，所以，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù).

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞增函數(shù)，所以最小值為.

當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，為遞減函數(shù)，所以最小值為.

當(dāng)，即時(shí)，最小值=.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值=；當(dāng)時(shí)，最小值為.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值.