Question

9．設(shè)n?N₊，則5C_n¹+5²C_n²+5³C_n³+…+5ⁿC_nⁿ除以7的余數(shù)為0或5．

Answer 1

分析 根據(jù)所給的式子即（7-1）ⁿ-1，按照二項式定理展開，可得它除以7的余數(shù)．

解答 解：根據(jù)1+5C_n¹+5²C_n²+5³C_n³+…+5ⁿC_nⁿ -1=（1+5）ⁿ-1=（7-1）ⁿ-1=${C}_{n}^{0}$•7ⁿ-${C}_{n}^{1}$•7^n-1+${C}_{n}^{2}$•7^n-2+…+${C}_{n}^{n-1}$•7（-1）^n-1+${C}_{n}^{n}$•（-1）ⁿ-1，
故除了最后2項外，其余的各項均能被7整除，
故它除以7的余數(shù)即為1+（-1）ⁿ除以7的余數(shù)，即為0或5，
故答案為：0或5．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．