Question

已知定義在[-1，1]上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f(

1

3

)=log23，且對于任意的x∈[-1，1]都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；
（2）試求使f（1-m）+f（1-2m）＜0成立的m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，在證明時只需要找到f（-x）與f（x）的關(guān)系即可，本題中要充分利用特值的思想尋找此關(guān)系，進(jìn)而問題即可獲得解答；
（2）解答時首先要對抽象不等式結(jié)合奇偶性進(jìn)行化簡，化為f（1-m）＜f（2m-1）的形式，然后分析函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合單調(diào)性同時注意到定義域即可獲得問題的解答．

解答：解：（1）由題意可知：令x=y=0，則
f（0+0）=f（0）+f（0），
所以f（0）=0，
令y=-x，可知f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（2）由f（1-m）+f（1-2m）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-2m），
又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
所以f（1-m）＜f（2m-1），
又函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且f(

1

3

)=

log

3 2

＞f（0）=0，∴函數(shù)在[-1，1]上為增函數(shù)，
所以

-1≤1-m≤1 -1≤2m-1≤1 1-m＜2m-1

，
解得：

2

3

＜m≤1
∴m的取值范圍為：

2

3

＜m≤1．

點評：本題考查的是抽象函數(shù)問題，在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)奇偶性的知識、函數(shù)單調(diào)性的知識以及解不等式的方法．值得同學(xué)們體會和反思．