Question

已知函數f（x）=b•a^x（其中a，b為常數且a＞0，a≠1）的圖象經過點A（1，6），B（3，24）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若對于任意的x∈（-∞，1]，（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0恒成立，求m的取值范圍；
（3）若g（x）=

x•f(x)

2x(x2+1)

，試用定義法證明g（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞減．

Answer 1

考點：指數函數綜合題

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）運用代入法，解方程組，即可得到a，b，進而得到f（x）的解析式；
（2）不等式化為m≤（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x≤1恒成立，運用指數函數的單調性求得右邊的最小值即可；
（3）運用單調性的定義證明，注意作差、變形和定符號、下結論幾個步驟．

解答： （1）解：由題意可得

b•a=6 b•a3=24

，
解得a=2，b=3．
即有f（x）=3•2^x；
（2）解：對于任意的x∈（-∞，1]，（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0恒成立，
即為對于任意的x∈（-∞，1]，（

1

2

）^x+（

1

3

）^x-m≥0恒成立．
即有m≤（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x≤1恒成立，
由于y=（

1

2

）^x+（

1

3

）^x在x≤1遞減，即有y≥

1

2

+

1

3

=

5

6

，
即y的最小值為

5

6

，
則m≤

5

6

．
即有m的取值范圍是（-∞，

5

6

]；
（3）證明：g（x）=

x•f(x)

2x(x2+1)

=

3x•2x

2x(x2+1)

=

3x

x2+1

，
設m＞n≥1，則g（m）-g（n）=

3m

1+m2

-

3n

1+n2

=

3(/m-n)(1-mn)

(1+m2)(1+n2)

，
由m＞n≥1，則m-n＞0，mn＞1，1-mn＜0，1+m²＞0，1+n²＞0，
則g（m）-g（n）＜0，即g（m）＜g（n）．
則g（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞減．

點評：本題考查函數的解析式的求法，考查不等式恒成立問題注意轉化為求函數最值，考查定義法證明函數的單調性的方法，考查運算能力，屬于中檔題．