Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n=2-2S_n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=•a_n，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求T_n；
（3）是否存在自然數(shù)m使得＜T_n對(duì)一切n∈N^*恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）由a_n=2-2S_n，令n=1，則a₁=2-2S₁，又S₁=a₁，所以a₁=
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n=2-2S_n，可得a_n-a_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n，即=
所以{a_n}是以a₁=為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是a_n=2•；
（2）b_n=•a_n=，∴T_n=+2•+…+①
∴T_n=1•+…++②
①-②可得T_n=++…+-=-
∴T_n=
（3）T_n+1-T_n=b_n+1=＞0，∴{T_n}單調(diào)遞增，∴T_n≥T₁=c₁=
∵T_n=＜，∴≤T_n＜
使得＜T_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，則
∴3≤m＜
∵m是自然數(shù)，
∴m=3．
分析：（1）再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，從而可求通項(xiàng)公式；
（2）利用錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列的和；
（3）先確定≤T_n＜，再根據(jù)＜T_n對(duì)一切n∈N^*恒成立，建立不等式，即可求得m的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問題，求得數(shù)列的通項(xiàng)與和是關(guān)鍵．