Question

如圖所示，A、B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，C是線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，射線OC交橢圓于點(diǎn)M，且|OF|=2，若MF⊥OA，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

8

+

y2

4

=1

．

Answer 1

分析：設(shè)出橢圓方程，利用AB為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，OC交橢圓于點(diǎn)M，MF⊥OA，求出M、C的坐標(biāo)，利用OM的斜率=OC的斜率，即可求得結(jié)論．

解答：解：∵F為橢圓的右焦點(diǎn)，|OF|=2，∴c=2．
設(shè)橢圓方程為

x2

b2+4

+

y2

b2

=1（b＞0），
∵AB為橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，OC交橢圓于點(diǎn)M，MF⊥OA，
∴A是長(zhǎng)軸右端點(diǎn)，

4

b2+4

+

y2

b2

=1
∴yM=

b2

b2+4

，
∴M（2，

b2

b2+4

）
∵A（

b2+4

，0），B（0，b）
∴C（

b2+4

2

，

b

2

）
∵OM的斜率=OC的斜率，
∴

b2 b2+4

2

=

b 2

b2+4 2

∴b=2，
∴所求橢圓方程是為：

x2

8

+

y2

4

=1．
故答案為：

x2

8

+

y2

4

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．