Question

【題目】設(shè)、是函數(shù) 的兩個極值點.

（1）若，求函數(shù)的解析式；

（2）若，求的最大值；

（3）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，求證： .

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由函數(shù)極值點定義，知所給兩數(shù)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為，建立關(guān)于的方程組，解得取值，可得函數(shù)解析式；（2）函數(shù)極值點對應(yīng)導(dǎo)數(shù)值取時的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系與，可得，再構(gòu)建關(guān)于的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性可得的最大值；（3）對所給函數(shù)化簡可得，利用二次函數(shù)可證結(jié)果．

試題解析：（1）∵，∴

依題意有，∴.

解得，∴.

（2）∵,

依題意，是方程的兩個根，且，

∴， 即：4，

∴

∵，∴3.

設(shè)，則

由得2，由得2.

即：函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,3)上是減函數(shù)，

∴當(dāng)時，有極大值為12，∴在上的最大值是12，

∴的最大值為.

（3） 證明：∵是方程的兩根，∴.

∵，，∴

∴

∵，即 ∴

∴

. ∴