Question

如圖，在y軸右側(cè)的動圓⊙P與⊙O₁：（x-1）²+y²=1外切，并與y軸相切．
（Ⅰ）求動圓的圓心P的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）過點P作⊙O₂：（x+1）²+y²=1的兩條切線，分別交y軸于A，B兩點，設AB中點為M（0，m）．求m的取值范圍．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用拋物線的定義，求動圓的圓心P的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）求出（x+1）²+y²=1的圓心（-1，0）到切線的距離，兩邊平方并整理，利用韋達定理，確定A，B兩點的縱坐標，即可確定m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，點P到點（1，0）的距離等于它到直線x=-1的距離，
故Γ是拋物線，方程為y²=4x（x≠0）．…（5分）
（Ⅱ）設P(

t2

4

，t)（t≠0），切線斜率為k，
則切線方程為y-t=k(x-

t2

4

)，即kx-y+t-

kt2

4

=0．…（6分）
由題意，（x+1）²+y²=1的圓心（-1，0）到切線的距離

|-k+t- kt2 4 |

1+k2

=1，…（8分）
兩邊平方并整理得：t²（t²+8）k²-8t（t²+4）k+t²-1=0．…（9分）
該方程的兩根k₁，k₂就是兩條切線的斜率，由韋達定理：k1+k2=

8t(t2+4)

t2(t2+8)

．  ①…（11分）
另一方面，在y-t=k1(x-

t2

4

)，y-t=k2(x-

t2

4

)中，
令x=0可得A，B兩點的縱坐標y1=t-

t2

4

k1，y2=t-

t2

4

k2，
故m=

y1+y2

2

=t-

t2

8

(k1+k2)，②…（13分）
將①代入②，得m=

4t

t2+8

=

4

t+ 8 t

，…（14分）
故m的取值范圍是-

2

2

≤m≤

2

2

，m≠0．…（15分）

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．