Question

已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足a₅=10，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足a₅=10，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，建立方程組，求得數(shù)列的首項與公差，從而可得數(shù)列的通項；
（2）先求S_n，再利用裂項法求數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和T_n．

解答：解：（1）由題意，設(shè)公差為d，則

a1+4d=10 (a1+2d)2=a1(a1+8d)

∴

a1+4d=10 4d2=4a1d

∵d≠0，∴a₁=2，d=2
∴a_n=2+（n-1）×2=2n；
（2）由（1）知，Sn=

n(2+2n)

2

=n2+n
∴

1

Sn

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴數(shù)列{

1

Sn

}的前n項和T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的首項與公差，正確運用求和公式．