Question

如圖，四棱錐E-ABCD，已知四邊形ABCD為菱形，△AEC所在的平面垂直于平面ABCD，且∠EAC=∠BAD=60°，AD=2

3

，AE=4，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，G、H分別為EC、CD上的點(diǎn)，且滿足

EG

GC

=3，

CD

CH

=2．
（1）求證：EB⊥AD；
（2）求證：直線GH∥平面BEF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）只要證明BF⊥AD，AF⊥EF，利用線面垂直的判定得到AD⊥平面EFB，利用線面垂直的性質(zhì)可證；
（2）證明：過D作DO∥GH，交EC與O，則O是EC 的中點(diǎn)，過O 作OM∥BC，交EB于M，連接MF，只要證明四邊形DCMF是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得到線線平行，再由線面平行的判定定理可得．

解答： （1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，△AEC⊥平面ABCD，且∠EAC=∠BAD=60°，AD=2

3

，AE=4，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，
所以BF⊥AD，cos∠EAF=cos∠EAC．cos∠CAD=

1

2

×

3

2

=

3

4

，
所以EF²=AE²+AF²-2AE×AF×

3

4

=16+3-6=13，
所以AF²+EF²=AB²，
所以AF⊥EF，
所以AD⊥平面EFB，
所以AD⊥EB；
（2）證明：過D作DO∥GH，交EC與O，則O是EC 的中點(diǎn)，過O 作OM∥BC，交EB于M，連接MF，
則OM∥BC，OM=

1

2

BC=DF，
所以四邊形DCMF是平行四邊形，
所以O(shè)D∥MF，
所以GH∥MF，
又GH?平面BEF，MF?平面BEF，
所以GH∥平面BEF．

點(diǎn)評：本題考查了線面垂直的性質(zhì)定理的運(yùn)用以及線面平行的判定，關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為線線問題解決，屬于難題