Question

（本小題滿分12分）

已知兩點、分別在直線和上運動，且，動點滿足(為坐標原點)，點的軌跡記為曲線.

(1) 求曲線的方程；(2) 過曲線上任意一點作它的切線，與橢圓交于M、N兩點，求證：為定值.

Answer 1

解：⑴(方法一)設(shè)

∵，∴是線段的中點，∴　----------2分　　

∵，∴，∴.

∴化簡得點的軌跡的方程為.    -----------------5分                            

(方法二)∵，∴為線段的中點. ---------2分　

∵A，B分別在直線和上，∴.

又，∴，∴點在以原點為圓心，為半徑的圓上.

∴點的軌跡的方程為.--------------5分                                                      

       ⑵證明：當直線l的斜率存在時，設(shè)l y＝kx＋m，

∵l與C相切，∴＝，∴.

聯(lián)立，∴.---------------6分

設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則x₁·x₂＝，.-------------8分　

又，∴·＝0.　--------------------------10分

當直線l的斜率不存在時，l的方程為x＝±，帶入橢圓方程得

M(，)，N(，－) 或 M(－，)，N(－，－)，

此時，·＝－＝0.

綜上所述，·為定值0. ------------------12分