Question

10．已知點A（0，5）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{98}$+$\frac{{y}^{2}}{49}$=1內一定點，P是這個橢圓上的點，要使|PA|的值最大，則P的坐標應是$（±4\sqrt{3}，-5）$，|PA|的最大值等于2$\sqrt{37}$．

Answer 1

分析 設P$（7\sqrt{2}cosθ，7sinθ）$（θ∈[0，2π））．可得|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosθ）^{2}+（7sinθ-5）^{2}}$=$\sqrt{-49（sinθ+\frac{5}{7}）^{2}+148}$，利用二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調性即可得出．

解答 解：設P$（7\sqrt{2}cosθ，7sinθ）$（θ∈[0，2π））．
則|PA|=$\sqrt{（7\sqrt{2}cosθ）^{2}+（7sinθ-5）^{2}}$=$\sqrt{-49si{n}^{2}θ-70sinθ+123}$=$\sqrt{-49（sinθ+\frac{5}{7}）^{2}+148}$≤2$\sqrt{37}$，當sinθ=-$\frac{5}{7}$時取等號，
∴$cosθ=±\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
∴P$（±4\sqrt{3}，-5）$．
故答案分別為：$（±4\sqrt{3}，-5）$；2$\sqrt{37}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及參數(shù)方程、二次函數(shù)與三角函數(shù)的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．