Question

19．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上．若球的體積為$\frac{9}{16}$π，則正方體的棱長為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)出正方體棱長，利用正方體的體對角線就是外接球的直徑，通過球的體積求出正方體的棱長即可．

解答 解：∵正方體的體對角線就是外接球的直徑，
設(shè)正方體的棱長為a，
∴正方體的體對角線長為：$\sqrt{3}$a，正方體的外接球的半徑為：$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，
球的體積為：$\frac{4}{3}$π×$（\frac{\sqrt{3}a}{2}）^{3}$=$\frac{9}{16}π$，
解得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查正方體與外接球的關(guān)系，注意到正方體的體對角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力與計算能力，是中檔題．