Question

8．正四棱錐O-ABCD的體積為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，底面邊長為$\sqrt{3}$，求正四棱錐O-ABCD的內(nèi)切球的表面積$（4-\sqrt{7}）π$．

Answer 1

分析 利用錐體的體積公式即可求得正四棱錐O-ABCD的高，可得斜高，利用等體積法求出正四棱錐O-ABCD的內(nèi)切球的半徑，根據(jù)球的表面積公式計算即得結(jié)論．

解答 解：正四棱錐O-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}$Sh=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$×h=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴斜高為$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
設(shè)正四棱錐O-ABCD的內(nèi)切球的半徑為r，則
$\frac{1}{3}$×（$\sqrt{3}×\sqrt{3}$+4×$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{21}}{2}$）r=$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
∴r=$\frac{\sqrt{2}（\sqrt{7}-1）}{4}$
∴正四棱錐O-ABCD的內(nèi)切球的表面積為4πr²=$（4-\sqrt{7}）π$．
故答案為：$（4-\sqrt{7}）π$．

點評 本題考查錐體的體積、球的表面積計算，考查學(xué)生的運算能力，屬中檔題．