Question

已知點(diǎn)A,B分別是射線l₁:y=x(x≥0),l₂:y=-x(x≥0)上的動點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△OAB的面積為定值2.

(1)求線段AB中點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(2)過點(diǎn)N(0,2)作直線l,與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,與射線l₁,l₂分別交于點(diǎn)R,S,若點(diǎn)P,Q恰為線段RS的兩個(gè)三等分點(diǎn),求此時(shí)直線l的方程.

Answer 1

解:(1)由題意可設(shè)A(x₁,x₁),B(x₂,-x₂),M(x,y),其中x₁＞0,x₂＞0,

則    

∵△OAB的面積為定值2,

∴S_△OAB=|OA|·|OB|=(x₁)(x₂)=x₁x₂=2.

①²-②²,消去x₁,x₂,得x²-y²=2.

由于x₁＞0,x₂＞0,∴x＞0.

∴點(diǎn)M的軌跡方程為x²-y²=2(x＞0).

(2)依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+2.

由消去y得(1-k²)x²-4kx-6=0,

設(shè)點(diǎn)P、Q、R、S的橫坐標(biāo)分別是x_P、x_Q、x_R、x_S,

∴由x_P,x_Q＞0得0.

解之,得-＜k＜-1.

∴|x_P-x_Q|=.

由消去y,得x_R=,

由消去y,得x_S=,

∴|x_R-x_S|=.

由于P,Q為RS的三等分點(diǎn),∴|x_R-x_S|=3|x_P-x_Q|.

解之,得k=.

經(jīng)檢驗(yàn),此時(shí)P,Q恰為RS的三等分點(diǎn),故所求直線方程為y=x+2.