Question

5．已知AB是拋物線x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)弦（焦點(diǎn)弦是指橢圓或者雙曲線或者拋物線上經(jīng)過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)的弦），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．求證：
（1）x₁x₂=-p²，y₁y₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）AB=y₁+y₂+p；
（3）$\frac{1}{AF}$+$\frac{1}{BF}$為定值．

Answer 1

分析 設(shè)直線方程為y=kx+$\frac{p}{2}$，代入x²=2py，利用韋達(dá)定理、拋物線的定義，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）設(shè)直線方程為y=kx+$\frac{p}{2}$，
代入x²=2py，可得x²-2kpx-p²=0，
∴x₁x₂=-p²，y₁y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}{4{p}^{2}}$=$\frac{{p}^{2}}{4}$；
（2）AB=y₁+$\frac{p}{2}$+y₂+$\frac{p}{2}$=y₁+y₂+p；
（3）∵y₁+y₂=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2p}$=2kp+p，
∴$\frac{1}{AF}$+$\frac{1}{BF}$=$\frac{1}{{y}_{1}+\frac{p}{2}}$+$\frac{1}{{y}_{2}+\frac{p}{2}}$=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+p}{\frac{{p}^{2}}{2}+\frac{p}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{2kp+p}{k{p}^{2}+{p}^{2}}$=$\frac{2}{p}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．