Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.

（2）討論在上的單調(diào)性；

（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案見(jiàn)解析.（3），證明見(jiàn)解析

【解析】

(1) 通過(guò)求導(dǎo)來(lái)判斷極值點(diǎn)，以此求出a的值;

（2）求導(dǎo)后對(duì)分類(lèi)討論，分，，且三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性即可；

（3）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究的大致圖象，數(shù)形結(jié)合可得的取值范圍，要證明，即證，即證，做差轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值即可證明.

（1）由于函數(shù)在上遞增，在上遞減，

由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)，所以，

∵，

故，

此時(shí)滿足是極大值點(diǎn)，所以；

（2）∵，

∴，

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.

②當(dāng)，即或時(shí)，，

∴在上單調(diào)遞減.

③當(dāng)且時(shí)，由 得.

令得；

令得.

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；

當(dāng)或時(shí)，在上遞減；

當(dāng)且時(shí)，在上遞增，在上遞減.

（3）令，

，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

故在處取得最小值為，

又當(dāng)，

所以函數(shù)大致圖象為：

由圖象知：.

不妨設(shè)，則有，

要證，只需證即可，

令，

則

在上單調(diào)遞增，

故

即，

，

.