Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點x=0處的切線為l：4x+y﹣5=0，若x=﹣2時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，
得：f′（x）=3x2+2ax+b，
當x=0時，切線l的斜率為﹣4，可得b=﹣4①，
當x=﹣2時，y=f（x）有極值，得f′（﹣2）=0，
∴12﹣4a+b=0②，
由①②得：a=2，b=﹣4，
由于切點的橫坐標為x=0，
∴f（0）=5，∴c=5，
∴a=2，b=﹣4，c=5．
（2）由（1）得f（x）=x3+2x2﹣4x+5，
∴f′（x）=3x2+4x﹣4，
令f′（x）=0，解得：x=﹣2或x=，
當x變化時，y′，y的值及變化如下表：

x	﹣3	（﹣3，﹣2）	﹣2	（﹣2，）		（，1）	1
y′		+	0	﹣	0	+
y	8	遞增	13	遞減		遞增	4

∴y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值為13，最小值為．
【解析】（1）先求出函數的導數，得到關于a，b，c的不等式組，解出即可；
（2）先求出函數的表達式，求出函數f（x）的導數，從而求出函數的單調區(qū)間，函數的最值．
【考點精析】本題主要考查了函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．