Question

15．已知數列{a_n}滿足：a₁=$\frac{3}{2}$，2a_n+1=a_n+$\frac{5}{{2}^{n}}$．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}中所有整數項的值．

Answer 1

分析 （1）把已知數列遞推式變形，可得數列{2ⁿa_n}是首項為3，公差為5的等差數列，求出等差數列的通項公式，即可得到數列{a_n}的通項公式；
（2）由數列的通項公式求出數列前幾項，作差得到數列自第二項起為遞減數列，可得數列{a_n}中只有第二項為整數項．

解答 解：（1）由2a_n+1=a_n+$\frac{5}{{2}^{n}}$，得${2}^{n+1}{a}_{n+1}-{2}^{n}{a}_{n}=5$，
即數列{2ⁿa_n}是首項為$2{a}_{1}=2×\frac{3}{2}=3$，公差為5的等差數列，
∴2ⁿa_n=3+5（n-1）=5n-2，
則${a}_{n}=\frac{5n-2}{{2}^{n}}$；
（2）由${a}_{n}=\frac{5n-2}{{2}^{n}}$，
可得${a}_{1}=\frac{3}{2}$，${a}_{2}=\frac{5×2-2}{{2}^{2}}=2$，${a}_{3}=\frac{5×3-2}{{2}^{3}}=\frac{13}{8}$，${a}_{4}=\frac{5×4-2}{{2}^{4}}=\frac{9}{8}$，${a}_{5}=\frac{5×5-2}{{2}^{5}}=\frac{23}{32}$＜1，
由${a}_{n+1}-{a}_{n}=\frac{5（n+1）-2}{{2}^{n+1}}-\frac{5n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{5n+3-10n+4}{{2}^{n+1}}=\frac{7-5n}{{2}^{n+1}}$≤0，
可得n≥$\frac{7}{5}$，
∵n∈N^*，∴n≥2，即自第二項起，數列{a_n}為遞減數列，
可得a_n＜1（n≥5）．
∴數列{a_n}中只有第二項為整數項，a₂=2．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差關系的確定，考查數列通項公式的求法，考查數列的函數特性，是中檔題．