Question

13．若函數(shù)y=f（x）同時滿足：（ⅰ）對于定義域內(nèi)的任意x，恒有f（x）+f（-x）=0；（ⅱ）對于定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，當x₁≠x₂時，恒有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＜0$，則稱函數(shù)f（x）為“二維函數(shù)”．現(xiàn)給出下列四個函數(shù)：
①f（x）=$\frac{1}{x}$
②f（x）=-x³+x
③$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$
④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}，x≥0\\{x^2}，x＜0\;.\end{array}\right.$
其中能被稱為“二維函數(shù)”的有④（寫出所有滿足條件的函數(shù)的序號）．

Answer 1

分析 由（i）可知f（x）是奇函數(shù)，由（ii）可知f（x）定義域上的減函數(shù)，逐個分析每個函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可．

解答 解：由（i）可知f（x）是奇函數(shù)，由（ii）可知f（x）定義域上的減函數(shù)．
對于①，f（x）=$\frac{1}{x}$在定義域上不單調(diào)，不符合條件（ii），
對于②，f（x）=-x³+x在R上不單調(diào)，不符合條件（ii），
對于③，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x不是奇函數(shù)，不符合條件（i），
對于④，作出f（x）的函數(shù)圖象，由圖象可知$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}，x≥0\\{x^2}，x＜0\;.\end{array}\right.$是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)．
故答案為④．

點評 本題考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，屬于中檔題．