Question

4．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n-a_n-1=n（其中n≥2且n∈N）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{2{a_n}}}{{n×{4^n}}}$，其前n項和是T_n，求證：T_n＜$\frac{7}{9}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1），及其等差數(shù)列的求和公式即可得出．
（Ⅱ）由${b_n}=\frac{n（n+1）}{{n×{4^n}}}=\frac{n+1}{4^n}$，利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式及其數(shù)列的單調性即可得出．

解答 （Ⅰ）解：a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=$1+2+3+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅱ）證明：${b_n}=\frac{n（n+1）}{{n×{4^n}}}=\frac{n+1}{4^n}$，
其前n項和T_n=$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{{4}^{2}}$+…+$\frac{n+1}{{4}^{n}}$，
$\frac{1}{4}$T_n=$\frac{2}{{4}^{2}}$+$\frac{3}{{4}^{3}}$+…+$\frac{n}{{4}^{n}}$+$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$，
∴$\frac{3}{4}$T_n=$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{n}}$-$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$，
=$\frac{1}{4}$+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{n+1}{{4}^{n+1}}$=$\frac{7}{12}$-$\frac{3n+7}{3×{4}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{7}{9}$-$\frac{3n+7}{9×{4}^{n}}$＜$\frac{7}{9}$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式及其數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．