Question

某公司生產一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產一臺儀器需要增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)：R(x)=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000，      x＞400

，其中x是儀器的月產量．當月產量為何值時，公司所獲得利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

分析：利潤=收益-成本，由已知分兩段當0≤x≤400時，和當x＞400時，求出利潤函數(shù)的解析式，分段求最大值，兩者大著為所求利潤最大值．

解答：解：：由于月產量為x臺，則總成本為20000+100x，從而利潤f（x）=R(x)=

300x- 1 2 x2-20000，0≤x≤400 60000-100x，x＞400

當0≤x≤400時，f（x）=-

1

2

（x-300）²+25000，
所以當x=300時，有最大值25000；
當x＞400時，f（x）=60000-100x是減函數(shù)，
所以f（x）=60000-100×400＜25000．
所以當x=300時，有最大值25000，
即當月產量為300臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是25000元．

點評：本題考查函數(shù)模型的應用：生活中利潤最大化問題．函數(shù)模型為分段函數(shù)，求分段函數(shù)的最值，應先求出函數(shù)在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數(shù)的最大值，取各部分的最小者為整個函數(shù)的最小值．