Question

已知定義在上函數(shù)為奇函數(shù)．

（1）求的值；

（2）求函數(shù)的值域．

 

Answer 1

（1）；（2）函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719594602785757/SYS201411171959514968446163_DA/SYS201411171959514968446163_DA.003.png">.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，得到關(guān)系式，代入函數(shù)的解析式，從中求解方程組即可得出的值，從而可計(jì)算出的值；（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719594602785757/SYS201411171959514968446163_DA/SYS201411171959514968446163_DA.009.png">的分子為一次式，分母為二次式，從而可利用判別式法或基本不等式法進(jìn)行求解該函數(shù)的值域.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719594602785757/SYS201411171959514968446163_DA/SYS201411171959514968446163_DA.010.png">為上的奇函數(shù)

所以即

所以

（2）法一：設(shè)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719594602785757/SYS201411171959514968446163_DA/SYS201411171959514968446163_DA.014.png">

則當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程有根，當(dāng)時(shí)，根為符合；

當(dāng)時(shí)，，于是且；

綜上可知，函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719594602785757/SYS201411171959514968446163_DA/SYS201411171959514968446163_DA.003.png">

法二：當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

所以

當(dāng)時(shí)，即（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立）

所以，所以

綜上可知函數(shù)的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719594602785757/SYS201411171959514968446163_DA/SYS201411171959514968446163_DA.003.png">.

考點(diǎn)：1.函數(shù)的奇偶性；2.函數(shù)值域的求法——判別式法、基本不等式法.