Question

如圖，已知圓E：（x+

3

）²+y²=16，點F（

3

，0），P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個動點，A與B關于原點對稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點C的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，可得動點Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓，即可求出動點Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）分類討論，當直線AB的斜率存在且不為0時，設斜率為k，則直線AB的直線方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，求出A的坐標，同理可得點C的坐標，進而表示出△ABC的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，
故動點Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓．（2分）
設其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），可知a=2，c=

a2-b2

=

3

，則b=1，（3分）
所以點Q的軌跡Γ的方程為為

x2

4

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）存在最小值．（5分）
（�。┊擜B為長軸（或短軸）時，可知點C就是橢圓的上、下頂點（或左、右頂點），
則S△ABC=

1

2

×|OC|×|AB|=ab=2．（6分）
（ⅱ）當直線AB的斜率存在且不為0時，設斜率為k，則直線AB的直線方程為y=kx，設點A（x_A，y_A），
聯(lián)立方程組

x2 4 +y2=1 y=kx

消去y得

x

2 A

=

4

1+4k2

，

y

2 A

=

4k2

1+4k2

，
由|CA|=|CB|，知△ABC是等腰三角形，O為AB的中點，則OC⊥AB，可知直線OC的方程為y=-

1

k

x，
同理可得點C的坐標滿足

x

2 C

=

4k2

k2+4

，

y

2 C

=

4

k2+4

，則|OA|2=

4

1+4k2

+

4k2

1+4k2

=

4(1+k2)

1+4k2

，|OC|2=

4k2

k2+4

+

4

k2+4

=

4(1+k2)

k2+4

，（8分）
則S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=

4(1+k2)

(1+4k2)(k2+4)

．（9分）
由于

(1+4k2)(k2+4)

≤

5(1+k2)

2

，
所以S△ABC=2S△OAC≥

4(1+k2)

5(1+k2) 2

=

8

5

，當且僅當1+4k²=k²+4，即k²=1時取等號．
綜合（�。�（ⅱ），當k²=1時，△ABC的面積取最小值

8

5

，（11分）
此時

x

2 C

=

4k2

k2+4

=

4

5

，

y

2 C

=

4

k2+4

=

4

5

，即xC=±

2 5

5

，yC=±

2 5

5

，
所以點C的坐標為(

2 5

5

，

2 5

5

)，(

2 5

5

，-

2 5

5

)，(-

2 5

5

，

2 5

5

)，(-

2 5

5

，-

2 5

5

)．（13分）

點評：本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．