Question

【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>I，區(qū)間，記.證明：

（1）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增的充要條件是：，都有；

（2）函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減的充要條件是：，都有.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）先證明充分性，利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及題設(shè)條件得出在D上單調(diào)遞增，再證必要性，不妨設(shè)，則，由函數(shù)在D上單調(diào)遞增，得出，即可證明；

（2）先證明充分性，利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及題設(shè)條件得出在D上單調(diào)遞減，再證必要性，不妨設(shè)，則，由函數(shù)在D上單調(diào)遞減，得出，即可證明；

證明：（1）充分性：不妨設(shè)，則

即在D上單調(diào)遞增.

必要性：若在D上單調(diào)遞增.

則，不妨設(shè)，則.

.

即，都有.

（2）充分性：不妨設(shè)，則，

，即，

在D上單調(diào)遞減.

必要性：若在D上單調(diào)遞減.

，不妨設(shè)，則.

即，都有.