Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，PA⊥CD，PA=1，，E為PD上一點，PE=2ED．
（Ⅰ）（ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（ⅱ）在側棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F點的位置，并證明；若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求直線CE與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（�。┯深}目給出的邊的關系，利用勾股定理得到PA⊥AD，結合PA⊥CD，由線面垂直的判定得到結論；
（ⅱ）取PC中點F，過點F在面PCD內作CE的平行線FG，交PD于點G，可知G為PE的中點，連結BG后有BG∥OE，由兩面平行的判定可得面FBG∥面AEC，從而得到要證得結論；
（Ⅱ）由（ⅰ）知PA⊥面ABCD，則可證CD⊥面PAD，由此可得∠CED為直線CE與面PAD所成的角，通過解三角形可得直線CE與平面PAD所成角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：如圖，
（ⅰ）因為PA=AD=1，PD=，
所以PA²+AD²=PD²，即PA⊥AD．
又PA⊥CD，AD，CD相交于D，
所以PA⊥平面ABCD．
（ⅱ）當點F為PC的中點時，滿足BF∥平面AEC．
證明如下：
因為F為PC的中點，過點F在面PCD內作CE的平行線FG，交PD于點G，
連結BG，設AC與BD相交于點O，則有BG∥OE，FG∥CE，
因為FG∩BG=G，且FG，BG不在平面AEC內，所以面FBG∥面AEC，
因為BF?面FBG，所以有BF∥平面AEC成立；
（Ⅱ）解：因為CD⊥面PAD，所以CE在面PAD上的射影即為ED，
即∠CED為直線CE與面PAD所成的角，
因為，CD=1，所以，
所以．
即直線CE與平面PAD所成角的正弦值為．
點評：本題考查了直線與平面垂直的判定，考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面所成的角，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，解答的關鍵是創(chuàng)設判定定理成立的條件，是中檔題．