【題目】設(shè)數(shù)列
的前n項(xiàng)和為
，對任意的正整數(shù)n，都有
成立，記
（
），
（１）求數(shù)列
的通項(xiàng)公式；
（2）記
（），設(shè)數(shù)列
的前n和為
，求證：對任意正整數(shù)n，都有
．
【答案】（1）
（
）
（２）對任意正整數(shù)n，都有
，證明略
【解析】
試題（1）已知
與
的關(guān)系式，如本題
，都是再寫一次（可用
代
），
，兩式相減后得數(shù)列的遞推式，從而可得
，數(shù)列
是等比數(shù)列，因此通項(xiàng)公式可得；（2）由（1）求得
，從要證明的不等式看，要求能計(jì)算出其和
，但從通項(xiàng)
的形式知其和求不出來，但是從問題看，想象能否采用放縮法，即把放大一點(diǎn)，以便可求和，
，此時(shí)要注意，
不能用這種放縮法，可直接計(jì)算得
，當(dāng)
時(shí)，用此放縮法得
，求和后可證得不等式成立．
試題解析：（1）當(dāng)
時(shí)，
，∴
，
又∵，，∴
，即，
∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為
的等比數(shù)列，
∴
．
（2）由
得
又
，當(dāng)時(shí)，
，
當(dāng)時(shí)，
∴對任意正整數(shù)都有．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某高校在2015年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如表所示．
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 |
| 5 |
|
第2組 |
| a |
|
第3組 |
| 30 | b |
第4組 |
| 20 |
|
第5組 |
| 10 |
|
合計(jì) | 100 |
| |
Ⅰ
求出頻率分布表中a，b的值，再在答題紙上完成頻率分布直方圖；
Ⅱ根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計(jì)樣本成績的中位數(shù)；
Ⅲ高校決定在筆試成績較高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，再從6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生由A考官進(jìn)行面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖1，在矩形ABCD中， 
，點(diǎn)
分別在邊
上，且
， 
交
于點(diǎn)
．現(xiàn)將
沿
折起，使得平面
平面
，得到圖2．
（Ⅰ）在圖2中，求證： 
；
（Ⅱ）若點(diǎn)
是線段
上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)
在什么位置時(shí)，二面角
的余弦值為
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
.
（Ⅰ）當(dāng)
時(shí)，求
的最小值.
（Ⅱ）若在區(qū)間
上有兩個(gè)極值點(diǎn)
，
（i）求實(shí)數(shù)
的取值范圍；
（ii）求證：
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（其中
是常數(shù)，
，
），函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)為
，且
．
（Ⅰ）若
，求曲線
在點(diǎn)
處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，若函數(shù)
在區(qū)間
上的最大值為
，試求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
．
(1)若
，求函數(shù)
的極值，并指出是極大值還是極小值；
(2)若
，求證：在區(qū)間
上，函數(shù)
的圖像在函數(shù)
的圖像的下方．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在直角梯形
中，
，且
分別為線段
的中點(diǎn)，沿
把
折起，使
，得到如下的立體圖形.
（1）證明：平面
平面
；
（2）若
，求點(diǎn)
到平面的距離.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某車間有5名工人其中初級工2人，中級工2人，高級工1人
現(xiàn)從這5名工人中隨機(jī)抽取2名．
Ⅰ
求被抽取的2名工人都是初級工的概率；
Ⅱ求被抽取的2名工人中沒有中級工的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
（
是自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）判斷函數(shù)
極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；
（2）若
， 
，求
的取值范圍.
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