Question

 

    已知四棱錐P—ABCD的側(cè)棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形，且AB=AP=a.

   （I）若E、F分別是PA、BC的中點，證明EF//平面PCD；

   （II）若G為AB中點，求證：二面角G—PC—D的大小為

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 證明：（I）取PD中點M，連接EM，MC則EM//AD，   …………2分

    EM=0.5AD=0.5BC=FC，

    ∴四邊形EFCM是平行四邊形，即EF//CM.

    又平面PCD，

    EF平面PCD，因此EF//平面PCD. …………6分

   （II）由（I）知交于A點的三條棱互相垂直，

    如圖建立坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（a，0，0），

C（a，a，0），D（0，a，0），P（0，0，a），

   …………8分

設(shè)平面的法向量為，       …………10分

設(shè)平面PCG的法向理為

則且

得一組解

∴設(shè)平面PCD的一個法向量為

則

得一組解

∴平面PCG的一個法向量為

，

即平面PCD⊥平面PCG，

故二面角G—PC—D的大小為       …………12分