Question

1．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，直線2x-y+2=0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q．
（1）若直線AB過焦點F，求|AF|•|BF|的值；
（2）是否存在實數(shù)p，使得以線段AB為直徑的圓過Q點？若存在，求出p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出p=4，可得拋物線方程，與直線y=2x+2聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達定理，通過|AF||BF|=（y₁+2）（y₂+2）求解即可．
（2）假設(shè)存在，由拋物線x²=2py與直線y=2x+2聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過△＞0，以及韋達定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），
方法一利用弦長公式$且|{PQ}|=\frac{1}{2}|{AB}|$，求出p．
方法二：通過$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$化簡，結(jié)合韋達定理，求解p即可．

解答 解：（1）∵F（0，2），p=4，∴拋物線方程為x²=8y，…（1分）
與直線y=2x+2聯(lián)立消去y得：x²-16x-16=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）…（2分）
則x₁+x₂=16，x₁x₂=-16，…（3分）
∴|AF||BF|=（y₁+2）（y₂+2）=（2x₁+4）（2x₂+4）=80；…（6分）
（2）假設(shè)存在，由拋物線x²=2py與直線y=2x+2聯(lián)立消去y得：x²-4px-4p=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△＞0，則x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p，…（7分）
P（2p，4p+2），Q（2p，2p），…（8分）
方法一∴|PQ|=2p+2，…（9分）
$又∵|{AB}|=\sqrt{5}•\sqrt{{{（4p）}^2}+16p}=4\sqrt{5}•\sqrt{{p^2}+p}$…（10分）
$且|{PQ}|=\frac{1}{2}|{AB}|$，
∴4p²+3p-1=0，
$p=\frac{1}{4}或p=-1（舍）$…（11分）
故存在p=$\frac{1}{4}$且滿足△＞0…（12分）
方法二：由$\overrightarrow{QA}•\overrightarrow{QB}=0$得：（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0…（9分）
即（x₁-2p）（x₂-2p）+（2x₁+2-2p）（x₂+2-2p）=0，…（10分）
∴$5{x_1}{x_2}+（4-6p）（{x_1}+{x_2}）+8{p^2}-8p+4=0$，…（11分）
代入得4p²+3p-1=0，$p=\frac{1}{4}或p=-1（舍）$．
故存在p=$\frac{1}{4}$且滿足△＞0，
∴p=$\frac{1}{4}$    …（12分）

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．