Question

【題目】已知（為常數(shù)）.

（1）求的極值；

（2）設(shè)，記，已知為函數(shù)是兩個(gè)零點(diǎn)，求證： .

Answer 1

【答案】（1）的極大值為，無(wú)極小值;（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：(1) 求導(dǎo)，判斷單調(diào)性得極值即可.

(2) 先在上構(gòu)造函數(shù)和比較大小，再在上利用函數(shù)單調(diào)性得.

試題解析：（1）,由得，

且時(shí)， ， 時(shí)， .

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以，函數(shù)的極大值為，無(wú)極小值.

（2）由及（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

由條件知，即,

構(gòu)造函數(shù),知與圖像兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為， ,

，由得，易知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.

欲證，只需證，不妨設(shè)，

考慮到在上遞增，只需證,

由知，只需證,

令，

則，

即單調(diào)增，注意到，

結(jié)合知，即成立，

即成立.

點(diǎn)睛:本題考查的是函數(shù)的極值問(wèn)題和極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.求極值時(shí)要注意判斷在導(dǎo)數(shù)為的點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，異號(hào)時(shí)為極值點(diǎn)，要記得判斷是極大值還是極小值 ，否則不是極值點(diǎn);在第二問(wèn)極值點(diǎn)偏移中，要解決兩個(gè)問(wèn)題，一是在上構(gòu)造函數(shù)和比較大小，二是在上利用函數(shù)單調(diào)性.