Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并加以證明；

（2）用定義證明函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；

（3）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和不小于，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）奇函數(shù)（2）詳見解析（3）[4,+∞)

【解析】

試題分析：（1）判斷出函數(shù)是奇函數(shù)再證明，確定函數(shù)定義域且關(guān)于原點對稱，利用奇函數(shù)的定義可判斷；

（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明按照取值、作差、變形定號、下結(jié)論步驟即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得函數(shù)在區(qū)間[2，a]上的單調(diào)性，再求出最大值、最小值，根據(jù)條件列出不等式求出a得范圍

試題解析：（1）函數(shù)是奇函數(shù)， 1分

∵函數(shù)的定義域為，在軸上關(guān)于原點對稱， 2分

且，

∴函數(shù)是奇函數(shù). 3分

（2）證明：設(shè)任意實數(shù)，且， 4分

則， 5分

∵ ∴，

∴<0 ，

∴<0,即，

∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù). 8分

（3）∵，

∴函數(shù)在區(qū)間上也為增函數(shù). 9分

∴， 10分

若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和不小于，

則， ∴，

∴的取值范圍是[4,+∞). 12分