Question

已知曲線：.

（1）若曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；

（2）設(shè)，過點(diǎn)的直線與曲線交于,兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的斜率．

 

Answer 1

（1）；（2）的值為和.

【解析】

試題分析：（1）曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則求解不等式組即可得到參數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)的方程為（注意檢驗(yàn)斜率不存在的情況是否符合要求），再設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，在為直角三角形時(shí)，應(yīng)該分類討論，因?yàn)闆]有明確哪個(gè)角為直角，當(dāng)時(shí)，有即即，聯(lián)立該直線與橢圓的方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入即可求出的取值；當(dāng)或時(shí)，這兩種情況是類似的，不妨取，由即與聯(lián)立可求解出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再代入直線方程，即可求出的值.

試題解析：（1）若曲線：是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則有

解得 2分

（2）時(shí)，曲線的方程為，為橢圓，

由題意知，點(diǎn)的直線的斜率存在，所以設(shè)的方程為

由消去得 4分

當(dāng)時(shí)，解得

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

（�。┊�(dāng)為直角時(shí)

則

因?yàn)?/span>為直角，所以，即

所以

所以，解得 6分

（ⅱ）當(dāng)或為直角時(shí)，不妨設(shè)為直角

此時(shí)，，所以，即①

又②

將①代入②，消去得，解得或（舍去）

將代入①，得

所以 8分

經(jīng)檢驗(yàn)，所求值均符合題意，綜上，的值為和 9分.

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.兩直線垂直的條件.