Question

18．定義在R上的可到函數(shù)f（x）滿足：對任意x∈R有f（x）+f（-x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$，且在區(qū)間[0，+∞）上有2f′（x）＞x，若f（a）-f（2-a）≥a-1，則實數(shù)a的取值范圍為a≥1．

Answer 1

分析 令g（x）=2f（x）-$\frac{1}{2}$x²，求出函數(shù)的導數(shù)，結合函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的單調(diào)性，所求不等式轉化為g（a）＞g（2-a），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解出即可．

解答 解：令g（x）=2f（x）-$\frac{1}{2}$x²，
則g′（x）=2f′（x）-x，
∵在區(qū)間[0，+∞）上有2f′（x）＞x，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∵f（x）+f（-x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∴g（x）+g（-x）=0，
∴g（x）是奇函數(shù)，
∴g（x）在R遞增，
若f（a）-f（2-a）≥a-1，
則g（a）-g（2-a）≥0，
即g（a）≥g（2-a），
∴a≥2-a，
∴a≥1，
故答案為：a≥1．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，是一道中檔題．