Question

已知動圓M過定點(diǎn)P（0，m）（m＞0），且與定直線l₁：y=-m相切，動圓圓心M的軌跡為C，直線l₂過點(diǎn)P交曲線C于A，B兩點(diǎn)．
（1）求曲線C的方程．（2）若l₂交x軸于點(diǎn)S，且，求l₂的方程．（3）若l₂的傾斜角為30°，在l₁上是否存在點(diǎn)E使△ABE為正三角形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，曲線C是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l₁為準(zhǔn)線的拋物線，由此可知曲線C的方程．
（2）由題意知k存在且k≠0，設(shè)l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²，由題設(shè)條件知，l₂方程為．
（3）由題設(shè)知l₂方程為代入x²=4my，消去y得：，，假設(shè)存在點(diǎn)E（x，-m），使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|=|AE|，由此導(dǎo)出，所以直線l上不存在點(diǎn)E，使得△ABE是正三角形．
解答：解：（1）依題意，曲線C是以點(diǎn)P為焦點(diǎn)，直線l₁為準(zhǔn)線的拋物線，
所以曲線C的方程為x²=4my
（2）由題意知k存在且k≠0
設(shè)l₂方程為y=kx+m，代入x²=4my由消去y得x²-4mkx-4m²=0
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4mk，x₁x₂=-4m²=
所以，l₂方程為
（3）由（Ⅰ）知l₂方程為代入x²=4my，消去y得：，
假設(shè)存在點(diǎn)E（x，-m），使△ABE為正三角形，則|BE|=|AB|=|AE|
由|BE|=|AE|
即，
化簡得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024184020226119766/SYS201310241840202261197021_DA/18.png">，則
因此，直線l上不存在點(diǎn)E，使得△ABE是正三角形．
點(diǎn)評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，難度較大，解題時要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．