Question

一個盒子里有10個大小形狀相同的小球，其中3個紅的，7個黃的．
（1）從盒子中任取一球，求它是紅球的概率；
（2）從盒子中任取3個球，求恰好取到2個紅球的概率；
（3）從中有放回地取3次球，用ξ表示取到紅球的次數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件直接運(yùn)用等可能事件古典概率公式求解．
（2）根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合組合公式運(yùn)用等可能事件古典概率公式求解．
（3）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答：解：（1）從盒中任取1球，有n₁=10種取法，
從盒中任取1球取到紅球，有m₁=3種取法，
∴它是紅球的概率p1=

m1

n1

=

3

10

．
（2）從盒中任取3球，有n2=

C

3 10

種取法，
從盒中任取3球恰好取到2個紅球，有m2=

C

2 3

•

C

1 7

取法，
∴恰好取到2個紅球的概率p₂=

m2

n2

=

C 2 3 • C 1 7

C 3 10

=

7

40

．
（3）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 3 7

C 3 10

=

7

24

，
P（ξ=1）=

C 2 7 • C 1 3

C 3 10

=

21

40

，
P（ξ=2）=

C 2 3 • C 1 7

C 3 10

=

7

40

，
P（ξ=3）=

C 3 3

C 3 10

=

1

120

，
∴隨機(jī)變量ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	7 24	21 40	7 40	1 120

數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

7

24

+1×

21

40

+2×

7

40

+3×

1

120

=

9

10

．

點(diǎn)評：本題考查概率的計算和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一．解題時要注意排列組合知識的合理運(yùn)用，是中檔題．