Question

（2012•南寧模擬）已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE、SD所成的角的余弦值為

3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義可得分別取SC，DC，AD邊的中點(diǎn)F，G，H易得EF

∥ .

.

HA故四邊形AEFH為平行四邊形所以AE∥DF，又根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)可得FG∥SD從而將異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為了相交直線(xiàn)即∠HFG或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AE、SD所成的角然后再利用余弦定理求∠HFG得余弦值即可．

解答：
解：由于正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等故不妨設(shè)棱長(zhǎng)為a
取SC的中點(diǎn)F連接EF則EF∥

1

2

BC，取AD的中點(diǎn)H連接HF則可得EF

∥ .

.

HA故四邊形AEFH為平行四邊形所以AE∥HF
再取DC中點(diǎn)G連接HG則FG∥SD所以∠HFG或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AE、SD所成的角
∵HF=AE=

3

2

a，F(xiàn)G=

1

2

a，HG=

DH2+DG2

=

2

2

a
∴cos∠HFG=

HF2+FG2- HG2

2HF×FG

=

3

3

＞0
即AE、SD所成的角的余弦值為

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線(xiàn)所成的角．解題的關(guān)鍵是要緊緊抓住利用平行的傳遞性（通常利用平行四邊形的性質(zhì)或中位線(xiàn)定理）將異面直線(xiàn)轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)然后在三角形中利用余弦定理求解（要注意的是利用于余弦值的正負(fù)判斷是這個(gè)角還是這個(gè)角的補(bǔ)角）！